【整数环Z的理想有-----个.近世代数的高手请回答填空题.如果有能力,也可以说明解答的过程.】

梁泰文回答：

　　无穷多个,因为:

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　　环的理想的定义：环的子集,且满足条件：(1)对加法封闭；(2)理想中的元素乘以环中的元素都在这个理想中.

　　例：整数环中的所有偶数,满足条件：(1)对加法封闭,因为偶数加偶数还是偶数；(2)理想中的元素乘以环中的元素都在这个理想中,因为偶数乘整数都是偶数.所以所有偶数组成理想.

　　类似地,所有能被三整除的数组成理想；所有能被四整除的数组成理想；…….

　　可以证明整数环的每个理想都可以写成“所有能被n整除的数”,n是某个整数（当n=0时,对应的理想只由0组成；当n=1时,对应的理想是所有整数）.这样的理想（所有能被环中某个元素整除的元素）叫做“主理想”,这样的环（所有的理想都是主理想）叫做“主理想整环”.整数环就是一个主理想整环.