已知椭圆方程X2/4+Y2=1,不过原点的直线与椭圆交PQ两点,满足OP,PQ,OQ斜率成等比数列,求△OPQ面积的取...已知椭圆方程X2/4+Y2=1,不过原点的直线与椭圆交PQ两点,满足OP,PQ,OQ斜率成等比数列,求△OPQ面

段福洲回答：

　　令P(x1,y1),Q(x2,y2).直线PQ方程为:y=kx+m(其中k=(y2-y1)/(x2-x1))①代入x^2/4+y^2=1②并整理得:

　　(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0.③

　　依题意有Δ=16(1+4k^2-m^2)>0.x1+x2=-(8km)/(1+4k^2).

　　|x2-x1|=√Δ]/(1+4k^2),|y2-y1|=|k(x2-x1)|=|k|√Δ]/(1+4k^2),

　　x1x2=4(m^2-1)/(1+4k^2),

　　y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k^2x1x2+km(x1+x2)+m^2

　　=4k^2(m^2-1)/(1+4k^2)-(8k^2m^2)/(1+4k^2)+m^2

　　OP,PQ,OQ斜率成等比数列,则有(y2-y1)^2/(x2-x1)^2=y1y2/x1x2.④

　　即k^2=[4k^2(m^2-1)/(1+4k^2)-(8k^2m^2)/(1+4k^2)+m^2]/[4(m^2-1)/(1+4k^2)]

　　整理得:k^2=1/4.

　　|PQ|=[√(1+k^2)√Δ]/(1+4k^2)=[4√(1+k^2)√(1+4k^2-m^2)]/(1+4k^2)⑤

　　O到直线PQ的距离d=|m|/(√(1+k^2)⑥

　　△OPQ面积=|PQ|*d/2=[4√(1+k^2)√(1+4k^2-m^2)]/(1+4k^2)*|m|/(√(1+k^2)/2=2|m|√(1+4k^2-m^2)/(1+4k^2)=2|m|√(1+1-m^2)/(1+1)

　　=|m|√(2-m^2)⑦

　　显然△OPQ面积在|m|=1时取得最大值1,最小值为0,故取值范围(0,1].