一道积分与极限结合的题求极限n→∞limn∫上标1+1/n下标1（（1+x^n）^0.5）/xdx

顾进广回答：

　　先算那个积分.

　　令x^n=tan^2(t),即x=tan^(2/n)(t)

　　所以∫√(1+x^n)/xdx

　　=∫(1/cost)/tan^(2/n)(t)*2/n*tan^(2/n-1)(t)*1/cos^2(t)dt

　　=2/n∫dt/(cos^2(t)sint)

　　=-2/n∫d(cost)/(cos^2(t)(1-cos^2(t)))

　　=-2/n∫d(cost)/cos^2(t)-2/n∫d(cost)/(1-cos^2(t))

　　=2/(ncost)-1/n∫(1/(1+cost)+1/(1-cost))d(cost)

　　=2/(ncost)-1/nln|(1+cost)/(1-cost)|+C

　　=2/n*√(1+x^n)-1/nln((√(1+x^n)+1)/(√(1+x^n)-1))+C

　　所以原式=lim(n→∞)n*[2/n*√(1+x^n)-1/nln((√(1+x^n)+1)/(√(1+x^n)-1))]|(1→1/n)

　　=lim(n→∞)2(√(1+(1+1/n)^n)-√2)-ln[(√((1+1/n)^n+1)+1)/(√((1+1/n)^n+1)-1)*(√2-1)/(√2+1)]

　　=2(√(e+1)-√2)-ln[(√(e+1)+1)/(√(e+1)-1)*(√2-1)/(√2+1)]

　　实在没精力再化简了.