【1、在一个集合中有N个点,任意两个点的连线必经过第三个点,求证：这N点必定共线2、2^p+3^p不等于a^n(p是质数,a和n为整数)】

李兴林回答：

　　1、在一个集合中有N个点,任意两个点的连线必经过第三个点,求证：这N点必定共线.

　　证明 用反证法, 假设这N点不共线,任取A,B两点,连接AB,至少存在一个点不在AB直线或其延长线上,设点X1不在AB直线或其延长线上,连接X1A,由题设必有点X2在AX1直线或其延长线上,连接X2B,必有点X3在X2B直线或其延长线上,显然X3不能与X1重合,否则直线X1X2与直线X2X3重合,A,B两点重合,这是不可能的,同理连接X3A,必有点X4在X3A直线或其延长线上,显然X4与X3也不能重合,再连接X4B,必有点X5在X4B直线或其延长线上,X5也不能与X1重合,这样一直做下去,得X6,X7,…,这样产生出无穷多互异的点X1,X2, X3,X4,…,看图,而题中给的点的个数是有限个,这就产生了矛盾,故假设这N点不共线是不成立的,完成了反证法证明.

　　2、该题显然有误,当n=1时,对任意质数p,2^p+3^p =a^n,如p=2, 2^p+3^p=13^1,此时a=13,如果将原题改为2^p+3^p不等于a^p,这恰巧是费尔马这定理的特例.

　　下面证明命题“对任意素数p,不存在整数a,使得2^p+3^p等于a^p”.

　　证明 当p为偶素数p=2时,2^p+3^p=13,显然13不是平方数,故p=2时,命题成立,当p为奇素数时,可用反证法证明,假设存在整数a有

　　2^p+3^p=a^p,则a^p-3^p=2^p,(a-3)(a^(p-1)+3a^(p-2)+…+3^(p-1))=2^p,由此可知a-3只能含有素因子2,设a-3=2^k,k<p为整数, 则a=2^k+3,故得

　　(2^k+3)^p-3^p=2^p,将左边第1项2项式展开整理后得,

　　(2^k)^p+p(2^k)^(p-1)*3+…+p3^(p-1)*(2^k)=2^p

　　约去两边公因子2^k,(2^k)^(p-1）+p(2^k)^(p-2)*3+…+p3^(p-1)=2^(p-k)

　　显然上式右边是偶数,但左边却是奇数,矛盾,故p为奇素数时,命题也成立.