自相关函数有哪些性质

段渭军回答：

　　对称性：从定义显然可以看出R(i)=R(−i).连续型自相关函数为偶函数

　　当f为实函数时,有：

　　R_f(-tau)=R_f(tau),

　　当f是复函数时,该自相关函数是厄米函数,满足：

　　R_f(-tau)=R_f^*(tau),

　　其中星号表示共轭.

　　连续型实自相关函数的峰值在原点取得,即对于任何延时τ,均有|R_f(tau)|leqR_f(0).该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到.离散型自相关函数亦有此结论.

　　周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数.

　　两个相互无关的函数（即对于所有τ,两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和.

　　由于自相关函数是一种特殊的互相关函数,所以它具有后者的所有性质.

　　连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数,在除τ=0之外的所有点均为0.

　　维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchintheorem）表明,自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对：

　　R(tau)=int_{-infty}^inftyS(f)e^{j2piftau},df

　　S(f)=int_{-infty}^inftyR(tau)e^{-j2piftau},dtau.

　　实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数,因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式：

　　R(tau)=int_{-infty}^inftyS(f)cos(2piftau),df

　　S(f)=int_{-infty}^inftyR(tau)cos(2piftau),dtau.