问题描述:
问题:
【定义】已知P为△ABC所在平面内一点,连接PA,PB,PC,在△PAB,△PBC和△PAC中,若存在一个三角形与△ABC相似(全等除外),那么就称P为△ABC的“共相似点”,根据“共相似点”是否落在
更新时间:2024-04-28 11:40:09
石硕回答:
(1)根据“共相似点”的定义得:等边三角形不存在共相似点.
故答案为:不存在;
(2)△ABC是直角三角形,理由如下:
根据题意得:△ABP∽△ACB,
∴∠ABP=∠C,
同理得:∠CBP=∠A,
∴∠ABC=∠A+∠C=180°-∠ABC,
解得:∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形;
(3)根据题意得:△PBC∽△CAB,
∴∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠PBC,
∴∠A=∠ABE=∠PBC,
∴∠PCB=∠ABC=2∠A=2∠PBC,
∵∠BCE=∠ACB,∠PBC=∠A,
∴△BEC∽△ABC,
∴点E是△ABC的边共相似点;
∵CD是△ABC的高,
∴∠CDB=90°,
∴∠PCB+∠ABC=90°,
∴2∠A+2∠A=90°,
解得:∠A=22.5°;
(4)作CP⊥AB于P,则P为△ABC的“共相似点”;
过B作BC的垂线与CP的延长线的交点是△ABC的“共相似点”;
作∠ABC的平分线与AC的交点P1是△ABC的“共相似点”;
过C作BP1的垂线,垂足是△ABC的“共相似点”;
同理:以上四个△ABC的“共相似点”关于直线BC的对称点是△ABC的“共相似点”;
∴△ABC的“共相似点”共有8个,如图所示:
根据等边三角形的性质和直角三角形的性质得:顺次连接所有满足条件的P点而围成的多边形的周长为2×2+4×
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