设∑是锥面z=√(x²+y²)(0≤z≤1)取下侧,求∫∫∑xzdydz-ydzdx+zdxdy求解

宋爱平回答：

　　补面Σ1：z=1取上侧

　　由高斯公式：

　　∫∫(Σ+Σ1)xzdydz-ydzdx+zdxdy

　　=∫∫∫Ω[∂/∂x(xz)+∂/∂y(-y)+∂/∂z(z)]dV

　　=∫∫∫Ω(z-1+1)dV

　　=∫(0→1)zdz∫∫Dzdxdy：x²+y²=z→Dz：πz

　　=∫(0→1)πz²dz

　　=(1/3)πz³：(0→1)

　　=π/3

　　∫∫Σ1xzdydz-ydzdx+zdxdy

　　=∫∫Σ1dxdy

　　=∫∫Ddxdy：Dxy：x²+y²=1

　　=π

　　即∫∫Σxzdydz-ydzdx+zdxdy

　　=-2π/3