【若过点p(1,m)与曲线y=3x3相切的直线有3条,求实数的取值范围】

陈世鸿回答：

　　曲线y=3x³的切线斜率为

　　y'=9x²

　　过点P(1,m)的切线方程为

　　y-m=y'(x-1)=9x²(x-1)

　　又切点在曲线上,故有y=3x³

　　∴3x³-m=9x²(x-1)

　　整理可得

　　6x³-9x²+m=0(1)

　　切线有3条,则方程(1)必有3个不同的解

　　设f(x)=6x³-9x²+m

　　方程(1)有3个不同的解,则对应于

　　函数f(x)与x轴有3个不同的交点

　　取f'(x)=18x²-18x=0可解得两个极值点分别为

　　x1=0,x2=1

　　易知,当x1时,f(x)为增函数

　　故欲使f(x)与x轴有3个不同交点

　　则必使其极大值点与极小值点位于x轴异侧

　　即有f(x1)>0,且f(x2)0,且6-9+m